Biostatistiques

Biostatistiques<o:p></o:p>

 

 

I) Définitions<o:p></o:p>

 

- Statistique : art de collecter, analyser et interpréter des données. Elle peut être descriptive ou déductive.<o:p></o:p>

- Population : série exhaustive de tous les individus étudiés.<o:p></o:p>

- Echantillon : ensemble fini et d’effectif limité, souvent randomisé et donc représentatif.<o:p></o:p>

- Paramètre : grandeur apportant une information résumée sur la variable étudiée.<o:p></o:p>

- Variabilité : ensemble des différences inter et intra-individuelles, pouvant être dues au hasard ou physiologiques.<o:p></o:p>

- Données : résultat de l’observation d’un individu<o:p></o:p>

- Statistique descriptive : description à l’aide de paramètres<o:p></o:p>

- Statistique déductive : conclusions à partir d’observation et de mesure <o:p></o:p>

- Variables quantitatives : mesurables<o:p></o:p>

- variables qualitatives : non mesurables<o:p></o:p>

 

II) Statistique descriptive<o:p></o:p>

 

            A) Notion de paramètre<o:p></o:p>

- Moyenne.<o:p></o:p>

- Variance (= écart-type²) : indique la dispersion des données autour de la moyenne.<o:p></o:p>

- Médiane : observation centrale des valeurs, n pair → médiane = n/2 // n impair → médiane = n+1/2.<o:p></o:p>

- Quartiles : valeurs de la variable qui partagent la série d’effectif n en 4 sous-séries de même effectif.<o:p></o:p>

            → Ex avec n=5 : 1er quartile = 0,25.5 = 1,25 → 1er quartile se trouve entre les 2 premières valeurs.<o:p></o:p>

 

            B) Comparaison moyenne/médiane<o:p></o:p>

	Avantages<o:p></o:p>	Inconvénients<o:p></o:p>
Moyenne<o:p></o:p>	- Significative si répartition symétrique des données<o:p></o:p> - Dispersion faible<o:p></o:p>	- Sensible aux valeurs anormales<o:p></o:p> - Sensibles aux minimums et maximums<o:p></o:p>
Médiane<o:p></o:p>	- Peu sensible aux valeurs anormales<o:p></o:p> - Utilisable pour les valeurs ordinales<o:p></o:p>	- Peu adéquat pour les calculs statistiques<o:p></o:p>

 

 

            C) Notion d’estimation statistique<o:p></o:p>

- Estimation ponctuelle : valeur unique jugée la meilleure à un instant donné.<o:p></o:p>

- Estimation par intervalle : intervalle de valeurs contenant la valeur cherchée → intervalle de confiance, plus fiable.<o:p></o:p>

- Pour constituer un échantillon représentatif de la population, on utilise la détermination précise des caractéristiques de la population et le TAS.<o:p></o:p>

 

            D) Estimation de données quantitatives<o:p></o:p>

Paramètre<o:p></o:p>	Echantillon<o:p></o:p>	Population<o:p></o:p>
Moyenne<o:p></o:p>	m : estimateur de la moyenne <o:p></o:p>	μ : moyenne vraie<o:p></o:p>
Ecart type<o:p></o:p>	s : estimateur de l’écart type <o:p></o:p>	σ : écart type vrai<o:p></o:p>
Effectif<o:p></o:p>	n<o:p></o:p>	N<o:p></o:p>

 

- Ecart type : variabilité des mesures entre elles et par rapport à la moyenne, plus il est faible et plus le caractère étudié est homogène <o:p></o:p>

 

- Les degrés de liberté représentent le nombre des écarts (x_i-m) indépendants → il suffit de connaître (n-1) pour les connaître tous → (n-1) degrés de liberté.<o:p></o:p>

 

- Notion d’IC = intervalle au risque α : μ ϵ [ m ± ε.s/√n ], avec i = ε.s/√n = indice de précision de l’IC et n = ε² (s² / i²) = nombre de sujets<o:p></o:p>

IC à α = 5% ó ε = 1,96<o:p></o:p>

        α = 1% ó ε = 2,6 <o:p></o:p>

 

- Loi de Gauss, ou loi normale : loi permettant, pour tout échantillon où n ≥30, de visualiser les notions d’IC autour de la moyenne, d’écart type et de dispersion autour de la moyenne.<o:p></o:p>

- La loi de Gauss est toujours centrée autour de la moyenne m de l’échantillon.<o:p></o:p>

- Plus σ augmente, plus la dispersion des données est importante, ainsi la courbe de Gauss s’aplatit, mais gardera toujours une forme en cloche.<o:p></o:p>

[m – 1 s ; m + 1 s] = 68,2% de la population<o:p></o:p>

[m – 1,96 s ; m + 1,96 s] = 95,4% de la population (IC à 5%)<o:p></o:p>

[m – 2,6 s ; m + 2,6 s] = 99,6% de la population (IC à 1%)<o:p></o:p>

 

            E) Estimation de données qualitatives<o:p></o:p>

 

	Echantillon<o:p></o:p>	Population<o:p></o:p>
Proportion<o:p></o:p>	pobs : estimateur du pourcentage inconnu <o:p></o:p>	p : pourcentage vrai<o:p></o:p>
Ecart type<o:p></o:p>	s : estimateur de l’écart type inconnu<o:p></o:p>	σ : écart type vrai<o:p></o:p>
Effectif<o:p></o:p>	n<o:p></o:p>	N<o:p></o:p>

- Ecart type : s = √(p_obs.q_obs/n), avec q_obs = 1 - p_obs.<o:p></o:p>

- IC : p ϵ [p_obs +/- ε.s ], avec i = εs.<o:p></o:p>

 

Précision d’un sondage : i = ε √(p(1 – p)/n) = indice de précision de l’estimation p et n = ε² (p(1-p) / i²) = nombre de sujets<o:p></o:p>

 

 

            F) Ensemble des données influant sur la précision<o:p></o:p>

 

III) Statistique déductive<o:p></o:p>

            A) Généralités sur les tests d’hypothèse<o:p></o:p>

- Les tests de comparaison :<o:p></o:p>

ü  Entre 2 populations : 2 échantillons représentatifs → existe-t-il une différence significative ?<o:p></o:p>

ü  Entre une population A et la population générale de référence : échantillon représentatif de la pop A → différence significative entre échantillon et pop générale, puis entre pop A et pop générale.<o:p></o:p>

- Définition des hypothèses :<o:p></o:p>

ü  H0 = hypothèse nulle : pas de différences entre les deux groupes, pas de lien entre les caractères étudiés.<o:p></o:p>

ü  H1 = hypothèse alternative : différence significative entre les deux groupes, lien entre les caractères.<o:p></o:p>

On choisit toujours pour H0 l’hypothèse qu’il serait le plus grave de rejeter à tort.<o:p></o:p>

- Notion de risque :<o:p></o:p>

Les hypothèses H0 et H1 ont des rôles symétriques = rejet de H0 implique l’acceptation de H1.<o:p></o:p>

- Etapes d’un test d’hypothèse (commun à tous les tests sauf quantitatif/quantitatif et U de Mann et Whitney) :<o:p></o:p>

1. Définir H0 et H1.<o:p></o:p>

2. Déterminer le caractère des données à étudier/comparer :<o:p></o:p>

            → qualitative/qualitative OU qualitative/quantitative OU quantitative/quantitative.<o:p></o:p>

3. Choisir le test en fonction des données (Z est le paramètre calculé).<o:p></o:p>

4. Choisir le seuil d’erreur de 1ère espèce (généralement α=5%).<o:p></o:p>

5. Recueil des données, calcul de Z et comparaison de Z à une valeur théorique.<o:p></o:p>

6. Interprétation :<o:p></o:p>

ü  Au niveau de l’échantillon, 2 cas : Z_calculé > Z_th → rejet de H0 // Z_calculé < Z_th → acceptation de H0.<o:p></o:p>

ü  Au niveau de la pop : extrapolation seulement si les échantillons sont représentatifs.<o:p></o:p>

            B) Deux caractères qualitatifs, <o:p></o:p>

·      Test de comparaison de pourcentages <o:p></o:p>

Repère par rapport à la table de l’écart réduit<o:p></o:p>

·      test du X²<o:p></o:p>

- X²_th est donné par la table du X² en croisant : le risque α, et le nombre de degrés de liberté (ddl) qui vaut : <o:p></o:p>

(nb_lignes - 1)x(nb_colonnes - 1), en ne prenant en compte que les lignes/colonnes de données (sauf les totaux).<o:p></o:p>

- X²_calculé est donné dans l’énoncé.<o:p></o:p>

- X²_calculé > X²_th → rejet de H0 // X²_calculé < X²_th → acceptation de H0.<o:p></o:p>

            C) Caractères qualitatifs et quantitatifs<o:p></o:p>

- Test de comparaison des moyennes : (pour des valeurs de n > 30)<o:p></o:p>

ü  ε_th est donné par la table de l’écart réduit, en fonction de α (Ex : 1,96 pour α=5%). ε_calculé est donné.<o:p></o:p>

- Test du T student : (pour des valeurs de n < 30)<o:p></o:p>

ü  T student théorique donné par la table du T student en croisant :<o:p></o:p>

            → Valeur de α.<o:p></o:p>

            → Nombre de ddl donné par : (n₁ - 1) + (n₂ - 1), avec n les effectifs des différents échantillons.<o:p></o:p>

- Cas de séries appariées, méthode des couples :<o:p></o:p>

ü  Méthode des couples lorsqu’on étudie la liaison entre 2 variables qualitatives/quantitatives dans 2 échantillons non indépendants.<o:p></o:p>

ü  On utilise alors le test de comparaison de moyennes de n >30, et un test T student si n <30.<o:p></o:p>

- Test de U de Mann et Whitney : (très petits effectifs)<o:p></o:p>

ü  Soient A et B deux échantillons, U_th est donné par la table de U de Mann et Whitney en croisant : α avec    (n_B - n_A), avec n_B le plus grand des effectifs.<o:p></o:p>

ü  U_calculé est donné par : U_AB = n_A x n_B - U_BA, avec U_BA le nombre de membres de A supérieurs aux membres de B.<o:p></o:p>

ü  U_calculé > U_th → acceptation H0 car imbrication forte // U_calculé < U_th → rejet H0 car imbrication faible.<o:p></o:p>

            D) Deux caractères quantitatifs<o:p></o:p>

- Coefficient de corrélation r : (revient à regarder la pente de la droite)<o:p></o:p>

ü  Toujours compris dans l’intervalle [-1 ; 1] avec n – 2 ddl<o:p></o:p>

ü  Si r n’existe pas ou si r=0 → pas de corrélation entre x et y au niveau de l’échantillon.<o:p></o:p>

ü  Si r existe et r >0 → x et y varient dans le même sens<o:p></o:p>

ü  Si r existe et r <0 →  x et y varient en sens inverse<o:p></o:p>

- Pour l’interprétation des résultats, on utilise la valeur absolue de r pour comparer :<o:p></o:p>

ü  |r_calculé| > [r_th| → rejet de H0 = acceptation H1, et inversement.<o:p></o:p>

- Coefficient de Spearman r’ : (très petits effectifs)<o:p></o:p>

Lu dans la table r’ de Spearman : en croisant α avec n (le nombre de données)<o:p></o:p>

            E) Tests non paramétriques<o:p></o:p>

- On les utilise lorsque les effectifs sont trop faibles (n compris entre 4 et 12).<o:p></o:p>

- Présentent une excellente robustesse.<o:p></o:p>

<3 Tableau bilan <3<o:p></o:p>